Найти два разных числа а и б, если а+б/а=б+а/б

A + b/a = b + a/b

В левой и правой частях приведём к общему знаменателю:

(a^2 + b) / a = (b^2 + a) / b

Левую и правую части умножим на ab:

b (a^2 + b) = a (b^2 + a) ;

Раскроем скобки:

b * a^2 + b^2 = a * b^2 + a^2

Перегруппируем:

b * a^2 - a * b^2 = a^2 - b^2

В левой части вынесем за скобки ab, в правой разложим на множители разность квадратов:

ab (a - b) = (a - b) (a + b)

Сократим на (a - b) при a ≠ b, что как раз и требует условие:

ab = a + b

В целых числах выполняется при a = b = 2, но нам не подходит по условию.

Кстати, при a = b = 1, выражение a + b/a = b + a/b истинно.

Из ab = a + b выразим a:

ab - a = b; a (b - 1) = b; a = b / (b-1)

При любых b≠1 последнее выражение является решением. Подставляя вместо b любые значение (b≠1, естесственно), найдём соответствующее значение для a.

Для примера, пусть b = 5, тогда a = 5/4. Проверяем

a + b/a = 5/4 + 5 / (5/4) = 5/4 + 4 = 5 + 1/4

b + a/b = 5 + (5/4) / 5 = 5 + 1/4

Всё верно.

Перенесём дробь в левую сторону и приведём к общему знаменателю

и, учитывая, что а и в разные, получим (а-в) (ав-а-в) = 0

а (в-1) - в+0

а=в / (в-1).

Выбирая любые значения в (кроме 2, при этом а=в), получим ответы.

Например, при в=3 а=1,5