Исследуйте функцию y=x-x^3 на монотонность и экстремумы, постройте график

Y'=1-3x² - это производная

1-3x²=0

3x²=1

x²=1/3

х=+-1/√3 или (√3) / 3 (это примерно 0,58)

Воспользуемся методом интервалов.

Начерти прямую, отметь на ней две точки, левую подпиши ее - 1/√3, а правую 1/√3. Это точки экстремумов.

Подставь в формулу производной число, которое меньше - 1/√3 (например, - 1) : y' (-1) = 1-3=-2. Слева от точки - 1/√3 поставь минусик.

Теперь подставь значение между - 1/√3 и 1/√3 (например, 0). y' (0) = 1 (т. е. >0). Между точками ставь плюсик.

Теперь значение, которое больше 1/√3, например 1. y' (1) = 1-3=-2. Снова отрицательное значение. Справа от точки 1/√3 ставь минус.

На тех промежутках, где у нас стоит плюс, функция непрерывна и возрастает (это промежуток от - 1/√3 до 1/√3). Над плюсом можем поставить стрелочку, ведущую вверх (как бы в горку).

С минусами - обратная картина - на этих промежутках функция убывает. Над минусами ставим стрелочку "с горки".

У нас получилась такая картина: стрелочки вниз - вверх - снова вниз. Т. е. точка - 1/√3 оказалась точкой минимума, а 1/√3 - точкой максимума функции. Всё!