В шахматном турнире каждый сыграл с каждым по одному разы. Победитель выиграл у всех и набрал очков в 5 раз меньше чем все остальные вместе.

сколько человек участвовало в турнире?

Допустим, всего в турнире участвовало Х человек. Тогда каждый из них сыграл (Х - 1) партию. Если в каждой партии между участниками распределялось 1 очко (победил=1/проиграл=0), то победитель турнира набрал (Х - 1) очко, а все остальные вместе набрали в сумме в 5 раз больше, то есть 5 * (Х - 1). Значит, общее число разыгрываемых очков составит (Х - 1) + 5 * (Х - 1), а общее число сыгранных партий можно описать формулой Х * (Х - 1) : 2. Поскольку разыгрываемые очки соответствуют количеству партий, то можно записать: Х * (Х - 1) : 2 = (Х - 1) + 5 * (Х - 1), откуда Х * (Х - 1) : 2 = 6 * (Х - 1), и, далее: Х: 2 = 6, Х = 12. Ответ: в турнире участвовало 12 человек.