Задать вопрос
7 сентября, 14:22

В семизначном телефонном номере Незнайки нет нулей. Как-то Незнайка сказал, что если сложить все двузначные числа, получающиеся вычеркиванием пяти цифр из его номера, то получится 2009. Докажите, что Незнайка ошибся.

+4
Ответы (1)
  1. 7 сентября, 15:29
    0
    Пусть номер Незнайки записывается как abcdefg, где a, b, ..., g - цифры от 1 до 9, не обязательно различные. Всего существует 7*6/2=21 двузначное число, которое можно получить из этого номера вычеркиванием пяти цифр.

    Заметим, что существует ровно 6 чисел, в которых цифра a исходного числа стоит на первом месте - ab, ac, ad, ae, af, ag. Аналогично, существует 5 чисел, в которых цифра b исходного числа стоит на первом месте - bc, bd, be, bf, 4 числа, в которых цифра c стоит на первом месте, и так далее, 1 число ef, в котором цифра e стоит на первом месте.

    Кроме того, существует ровно 6 чисел, в которых цифра g стоит на последнем месте (ag, bg, cg, dg, eg, fg), 5 чисел, в которых цифра f стоит на последнем месте (af, bf, cf, df, ef), и так далее, 1 число ab, в котором цифра b стоит на последнем месте.

    Теперь рассмотрим сумму ab+ac+ad + ... + ef из 21 двузначного числа, о которых шла речь выше. Эту сумму можно представить в виде (10a+b) + (10a+c) + (10a+d) + ... + (10e+f) - если цифра стоит на первом месте, то её нужно умножить на 10. Поскольку мы уже знаем, сколько раз в этой сумме каждая цифра находится на первом и втором месте, мы можем записать сумму следующим образом: (10a+b) + (10a+c) + (10a+d) + ... + (10e+f) = 60a + (50+1) b + (40+2) c + (30+3) d + (20+4) e + (10+5) f+6g=60a+51b+42c+33d+24e+15f+6g.

    Заметим, что каждое слагаемое делится на 3, значит, и результат должен делиться на 3. Число 2009 на 3 не делится, следовательно, Незнайка ошибся.
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «В семизначном телефонном номере Незнайки нет нулей. Как-то Незнайка сказал, что если сложить все двузначные числа, получающиеся ...» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы