Теоремы геометрии 8 класса

Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Теорема 6.2 (Обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Теорема 6.6 (Теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Теорема 7.2 (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Следствия:

-В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

-cosA < 1 для любого острого угла А.

-Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Теорема 7.3 (Неравенство треугольника). Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.

Следствие: В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других.

Теорема 7.4. Для любого острого угла А.

sin (90o-A) = cosA, cos (90o-A) = sinA.

Теорема 7.5. При возрастании острого угла sinA и tgA возрастают, а cosA убывает.

Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Следствие: При движении прямые переходят в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки.

Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство

Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора равна. Направление вектора при совпадает с направлением вектора, если l> 0, и противоположно направлению вектора, если l< 0.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Следствия:

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Если скалярное произведение отличных от 0 векторов равно 0, то векторы перпендикулярны.