Почему Гера преследовала Геракла?

Потому что Зевс изменил Гере со смертной женщиной. Из-за этого она разозлилась на Зевса, но так как богам нельзя было убивать друг друга, она решила отомстить ему через сына

Имя "Геракл" означает "Слава богини Геры". Звучало это имя иронически. Богиня Гера была небесной царицей, супругой верховного Зевса-громовержца. А Геракл был последним из земных сыновей Зевса: Зевс нисходил ко многим смертным женщинам, но после Алкмены, матери Геракла, - уже ни к кому. Геракл должен был спасти богов Олимпийцев в войне за власть над миром против восставших на них земнородных Гигантов: было пророчество, что боги победят Гигантов, только если к ним на помощь придет хотя бы один смертный человек. Таким человеком и стал Геракл. Гера должна была бы, как все боги, быть ему благодарна. Но она была законной женою Зевса, покровительницей всех законных браков, и внебрачный сын ее мужа, да еще и самый любимый, был ей ненавистен. Поэтому все сказания о земной жизни Геракла - это сказания о том, как преследовала его богиня Гера.