Почему германские императора стремились короновать именно в Риме.

Императоры считались главой всех правителей Европы. Себя же они считали наследниками римских кесарей. они стремились себя короновать потому что хотели своё государство представить приемником римской империи.

Потому, что хотели свое государство представить приемником Римской империи, что было даже зафиксировано в названии - Священная Римская империя (не путать с Римской империей).

Себя же они считали наследниками римских кесарей.

Отсюда - и коронация в Риме, и атрибуты власти, как например, трансформировавшаяся из золотого лаврового венка римских императоров, корона.

Для чего это было надо? - Бывшие варвары, создав на обломках Великой империи новые государства, таким образом придавали легитимность и политический авторитет своей власти.