Какими достижениями народов Древнего Востока мы пользуемся в современной жизни

Порох, компас, бумага, весло.

Бумага, порох, идея мыться и менять одежду до того, как она истлеет.

Добавлю счёты, десятичную позиционную систему счисления, алфавитное письмо, глобус, алгебру, стремена для верховой езды.

То, что монголы наградили весь цивилизованный мир штанами в их современном виде - это точно. Кстати, дипломатическая неприкосновенность послов - это тоже от них.