Почему византийцы считали себя наследниками величия Древнего Рима?

Потому что термин Византия появился в 16 веке, а стал широко употребим в 19-м. Римская империя официально на два государства не разделялась. Собственно, как жители римской империи считали себя римлчнами, так и продолжали. Хотя и уже в 5-м веке эта империя перестала быть центром мира и приобрела лишь региональное значение.

Потому что они были частью римской империи