При каких обстоятельствах и где произошла встреча русских дружин с монгольским войском? чем закончилось сражение?

Там несколько встреч было.

Первая на р. Калка (1223 год). Половцы призвали русских вместе выступить против монголов. Закончилось поражением объединенного войска половцев и русских.

Далее сражения были на территории Руси, в их время монголы подчиняли себе территорию Руси.

Последняя битва - стояние на Угре (1480 г) - считается датой освобождения Руси от золотоордынского ига.

Какое именно сражение?

Ведь, как мы знаем их было не так мало