Почему арабов считают наследниками античной культуры? Что они сами привнесли в мировую культуру?

Ерунда какая-то. У арабов источники культуры намного древнее чем у "античных" (то есть у греков). Они у греков разумеется что-то позаимствовали. Но на самом деле больше дали последователям греков (римляне, а затем все европейцы) - цифры, алгебра, много из медицины, ...

В 9 веке в Багдаде возник "Байт ал-хикма", в котором делали переводы на арабский язык лучших греческих, иранских, сирийских и еврейских книг. Греческая философия сильно повлияла на мусульманское богословие, а римское право воздействовало на мусульманское право - шариат.