Есть чашечные весы без делений. Для взвешивания груза также можно использовать гирьки, массы которых - целое число граммов. Вам необходимо предложить набор гирек, при помощи которого можно отмерить на весах любую массу, равную целому числу граммов от 1 до 40. Гирьки можно класть на каждую чашку весов, чашки весов должны находиться в равновесии, при этом на одной из чашек весов должен находиться взвешиваемый груз

Пусть выбраны гирьки с массами M1, M2, ..., Mn и ими удалось массу X.

Тогда имеет место равенство X = a1 * M1 + a2 * M2 + ... + an * Mn,

где ai = 0, если i-ая гирьке не участвовала в взвешиваниях, - 1, если лежала на той же чаше весов, что и масса, которкю нужно отмерить, и + 1, если на другой чаше весов.

Каждый из коэффициентов принимает одно из трёх значений, тогда при помощи n гирек можно отмерить не более, чем 3^n различных масс. 3^3 < 40 + 1 < 3^4, значит, гирек нужно не менее четырёх.

Докажем, что взяв гирьки с массами 1, 3, 9 и 27, можно отмерить любую массу от 1 до 40. Будем это делать по индукции, доказав, что при помощи гирек 1, 3, 9, ..., 3^k можно отмерить любую массу от 1 до (3^k - 1) / 2.

База индукции. При помощи одной гирьки массой 1 действительно можно отмерить массу 1.

Переход. Пусть для k = k' всё доказано. Докажем и для k = k' + 1.

- Если нужно отмерить массу X < = (3^k' - 1) / 2, то это можно сделать при помощи k' гирек.

- Пусть надо отмерить массу (3^k' - 1) / 2 < X < = (3^ (k' + 1) - 1) / 2. Кладём на другую чашу весов гирьку массой 3^k'. Тогда остаётся нескомпенсированная масса |X - 3^k'| < = (3^k' - 1) / 2, которую, по предположению, можно получить. Ура!

Ответ. 1, 3, 9, 27.