Найдите наименьшее основенние системы счисления в которой запись числа 32 оканчивается на 8

Если в записи числа присутствует цифра 8, то её основание не может быть меньше 9. В девятиричной системе двух разрядов достаточно для представления числа 88 (9) = 9 х8+8=80 (10), поэтому в системе с любым рассматриваемым нами основанием число 32 будет двухзначным.

Запишем 32 в расширенной форме в системе счисления по основанию n:

32 (10) = a x n + b.

По условию запись числа оканчивается цифрой 8, т. е. b=8.

Тогда an+8=32 или an=24.

Остается решить полученное уравнение в целых числах относительно минимального n≥9: n=24/a

Разложим 24 на множители: 24 = 2 х 2 х 2 х 3, ⇒ а ∈ (2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

a=2 ⇒ n=12

a=3 ⇒ n=8, что уже меньше 9 и большие значения a можно не рассматривать.

Полагая а=2 и n=12 получаем запись 28 в двенадцатиричной системе.

Проверка: 28 (12) = 2 х12+8=24+8=32 (10).

Ответ: 12