В треугольнике авс угол а = 54 градуса, угол В = 66 градусов, АК - биссектриса треугольника АВС. Найти радиус окружности, описанной около треугольника АВК, если радиус окружности, описанной около АВС, равен 6 см.

Радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

Отсюда находим длины сторон треугольника.

a (BC) = 2RsinA = 2*6*sin54° = 12*0,809016994 = 9,708203932.

b (AC) = 2RsinB = 2*6*sin66° = 12*0,913545458 = 10,96254549.

c (AB) = 2RsinC = 2*6*sin 60° = 12*0,866025404 = 10,39230485.

Здесь угол С = 180°-54°-66° = 60°.

Находим длину биссектрисы АК = (2bc*cos (A/2)) / (b + c) = 9,506871723.

Биссектриса делит сторону ВС точкой К на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам.

ВК = (ас) / (с - в) = 4,724482409.

KC = BC - BK = 4,983721523.

Теперь у треугольника АВК известны все стороны.

Площадь его определим по формуле Герона.

S (ABK) = √ (p (p-a) (p-b) (p-k)) = 22,42674559 кв. ед.

Здесь a = BK = 4,724482409.

b = AK = 9,506871723.

k = AB = 10,39230485.

р = (a+b+k) / 2 = 12,3118295 ...

Тогда радиус описанной около треугольника АВК окружности равен:

R = (abk) / (4S) = 5,203283414.