3 задачи

1) Основа прямой призмы - ромб. Диагонали призмы 20 дм и 18 дм, а высота призмы 16 дм. Найти сторону основы призмы?

2) Высота правильной четырёхугольной срезаной пирамиды 4 дм, а стороны основ 8 дм и 2 дм. Найти площадь диагонального перериза?

1) Найдём диагонали основания по Пифагору.

D = √ (20² - 16²) = √ (400 - 256) = √144 = 12

d = √ (18² - 16²) = √ (324 - 256) = √68

a = √ (D + d) / 2

a = √ (12² + (√68) ²) / 2 = √ (144 + 68) / 2 = √212/2 = √53

Ответ: √53 дм.

2) Основания - квадраты. D - диагональ большего основания, d - диагональ меньшего основания.

Диагональное сечение - трапеция высотой 4 и с основаниями D и d.

D = 8√2; d = 2√2

S = 1/2 * (8√2 + 2√2) * 4 = 1/2 * 10√2 * 4 = 20√2

Ответ: 20√2 дм².

3) ABC - равносторонний треугольник, EO - радиус вписанной окружности, r = a√3/6.

EO = 4√3/6 = 2√3/3

DE - апофема, ∠EDO = 90 - 60 = 30°

⟹ DE = 2EO = 4√3/3

DO - высота пирамиды, DO = √ (DE² - EO²)

DO = √ ((4√3/3) ² - (2√3/3) ²) = √ (16*3/9 - 4*3/9) = √ (48/9 - 12/9) = √ (36/9) = √4 = 2

V = ha²/4√3

V = 2*4²/4√3 = 2*16/4√3 = 8/√3 = 8√3/3

Sосн. = √3/4 * a²; Sбок. = 1/2PL

S осн. = 4²*√3/4 = 16√3/4 = 4√3; Sбок. = 1/2*16*4√3/3 = 32√3/3

S = 4√3 + 32√3/3 = 12√3/3 + 32√3/3 = 48√3/3 = 16√3

Ответ: V = 8√3/3 см³, S = 16√3 см².