Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие точку М?

Любая прямая. пересекающаяся с данными двумя, образует на них 2 точки, и третья точка - М.

Основная аксиома стереометрии:

Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Следовательно, ответ на первый вопрос - да. лежат.

Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие точку М?

Поскольку речь обо всех прямых, то ответ: Нет, не лежат. Через одну точку пространства можно провести бесконечное множество прямых (в разных направления). Если через две из них провести плоскость, то третья прямая может быть перпендикулярна этой плоскости или пересекать ее под острым углом. Аналогично и все остальные прямые.