У треугольника ABC сторона AC больше чем сторона BС. Медиана CD делит угол C на два угла. Какой из них больше и почему?

Для простоты записи обозначим углы, на которые медиана разделила угол С так:

уг. ДСА = уг. 1, уг. ДСВ = уг. 2

Также обозначим уг. ВДС = уг.α, тогда уг. АДС = 180° - α и АД=ВД = а.

Рассмотрим тр-к ВДС.

По теореме синусов: sinα : BC = sin уг. 1 : а, откуда

sin уг. 1 = sinα · а : BC

Рассмотрим тр-к АДС.

По теореме синусов: sin (180°-α) : АC = sin уг. 2 : а,

или sinα : АC = sin уг. 2 : а, откуда

sin уг. 2 = sinα · а: АC

Сравним синусы углов 1 т 2. Поскольку по условию АС > ВС, то sin уг. 2 < sin уг. 1

и, следовательно,

уг. 2 < уг. 1

Ответ: угол АСД (уг. 2), примыкающий к стороне АС меньше угла ВСД (уг. 1), примыкающему к стороне ВС

Известно, что медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Поэтому S тр-ка BCD = S тр-ка ACD. Площадь треугольника можно определить по формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними. Значит: (1/2) BC*CD*sin BCD = (1/2) AC*CD*sin ACD. Делим обе части на (1/2) * CD^

BC*sin BCD = AC * sin ACD. Делим обе части на sin ACD*BC^

sin BCD/sin ACD = AC/BC. Так как АС>BC, то и sin BCD > sin ACD. Оба эти угла острые, т. е. значение синуса тем больше, чем больше угол. Отсюда угол BCD> угла ACD