Доказать, что треугольник построенный из медиан данного треугольника имеет площадь равную 3/4 площади данного треугольника.

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, a медианы ma, mb и mc.

Выразим медианы треугольника через их стороны. Будем иметь

ma=sqrt ((2b^2+2c^2-a^2) / 4)

mb=sqrt ((2a^2+2c^2-b^2) / 4)

mc=sqrt ((2a^2+2b^2-c^2) / 4)

Возведем правые и левые части этих равенств в квадрат

ma^2 = (2b^2+2c^2-a^2) / 4

mb^2 = (2a^2+2c^2-b^2) / 4

mc^2 = (2a^2+2b^2-c^2) / 4

сложим правые и левые части этих равенств

ma^2+mb^2+mc^2 = (2b^2+2c^2-a^2) / 4 + (2a^2+2c^2-b^2) / 4 + (2a^2+2b^2-c^2) / 4 = (3/4) * (a^2+b^2+c^2)

что и следовало доказать