Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки в отношении 4:3. Вычислить эти отрезки, если радиус вписанной окружности равен 7 см

Обозначим треугольник АВС, С - прямой угол,

О - центр вписанной окружности, ихвестно, что цент вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис (а, значит и набиссектрисе прямого угла)

СД - биссектриса, значит АД: ДВ=4 х: 3 х

Опусти перпендикуляры из точки О на катеты - ОК на катет СВ и ОМ на катет АС они равны радиусу, те 7 см.

тк угол С прямой, то ОК=МС=МО=СК=7 см.

Вспомним, сто отезки касательных, проведенных из одной точки к окружности равны (легко доказать) Т. е. КВ=ДВ=3 х и АМ=АД = 4 х.

Получилось

АС=АМ+МС=4 х+7

АВ=АД+ДВ=4 х+3 х=7 х

СВ=СК+КВ=7+3 х

Теперь составим уравнение применив теорему Пифагора

(4 х+7) ^{2} + (7+3 х) ^{2) = (7 х) ^{2}

решив его. найдем х потом умножим на 3 и на 4