Через точки A и B, лежащие на диаметре окружности с центром в точке O, проведены касательные. Через точку K, лежащую на окружности, проведена касательная, которая пересекает первые две касательные в точках L и N. Докажите, что треугольник NOL-прямоугольный.

Соединим точки А и В диаметра друг с другом, а также точку О с точками L и N. Опустим перпендикуляр ОК из точки О на касательную LN. Обозначим угол ВNО = al, а угол АLO = be.

Тр-ки ОNB и ОКВ равны, т. к. они прямоугольные (уг. OBN = уг. ОКN = 90 гр.), у них общая гипотенуза ОN, а катеты OB = ОК и равны радиусу окружности.

Тогда уг. ВNО = уг. КNО = al.

Аналогично для тр-ков ОAL и ОКL: уг. ALO = уг. КLО = be.

В тр-ке LON сумма углов уг. КLО + уг. КNO = al + be, уг. LON = 180 - (al + be)

Рассмотрим углы при точке О: уг. KON = 90-al, уг. KOL = 90-be, а уг. LON = 180 - (уг. NOB + уг. LOA) = 180 - (90-al) - (90-be) = al + be.

Итак получили: уг. LON = 180 - (al + be) и уг. LON = al + be.

180 - (al + be) = al + be и 2 (al + be) = 180. Откуда al + be = 90 гр.

И уг. LON = al + be = 90 гр., т. е. тр-к LON - прямоугольный.