В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=3 см. Окружность диаметром АС пересекает гипотенузу АВ в точке М в отношении АМ: МВ=9:16. Найдите площадь треугольника АВС.

Угол АМС - прямой (опирается на полуокружность).

По свойству высоты из прямого угла МС² = АМ*МВ.

Примем коэффициент пропорциональности деления гипотенузы за х.

Тогда МС² = 9 х*16 х = 144 х².

Рассмотрим треугольник АМС.

АС² = АМ² + МС².

3² = (9 х) ² + 144 х²,

81 х² + 144 х² = 9,

225 х² = 9,

х = √ (9/225) = 3/15.

Находим длины сторон треугольника АВС.

АВ = (9+16) * (3/15) = 25*3/15 = 5 см.

ВС = √ (25-9) = √16 = 4 см.

S (АВС) = (1/2) * 3*4 = 6 см².