Куб поделен на шесть четырехугольных пирамид следующим способом: внутри куба выбрана точка, которая соединена со всеми восемью вершинами куба. Объемы пяти из этих пирамид - это числа 5, 6, 8, 14 и 17. Чему равен объем шестой пирамиды?

Question

Геометрия

Лела

29 февраля, 16:32

Куб поделен на шесть четырехугольных пирамид следующим способом: внутри куба выбрана точка, которая соединена со всеми восемью вершинами куба. Объемы пяти из этих пирамид - это числа 5, 6, 8, 14 и 17. Чему равен объем шестой пирамиды?

+3

Ответы (1)

Знаете ответ?

Агафоклия · Answer 1

Пусть сторона куба равна а. Внутри куба находится точка Е, которая является вершиной всех шести пирамид.

В двух пирамидах, основаниями которых являются противоположные грани куба, высоты лежат на одной прямой и их сумма равна стороне куба: h₁+h₂=a.

Объём пирамиды: V=a²h/3.

Сумма объёмов этих двух пирамид:

V1+V2=a²h₁/3+a²h₂/3 = (a²/3) · (h₁+h₂) = a³/3.

Таким же образом получаем суммы объёмов оставшихся пар пирамид, с противолежащими основаниями. Все они равны а³/3.

Из условия можно заметить, что 5+17=8+14=22 - это сумма объёмов пирамид с противолежащими основаниями, значит объём шестой пирамиды равен 22-6=16 (ед³) - это ответ.