В треугольнике АВС проведены биссектриса AD и медиана BK. Из точек D и K опущены перпендикуляры DM и KN на сторону АВ. Известно, что АМ: МВ=9:1, AN:NB=2:3. Найти отношение AD:BK

Такое слегка туповатое решение, мне оно не очень нравится с эстетической точки зрения.

O - точка пересечения AD и BK, CH - высота к AB.

Ясно, что MD II CH II KN;

Поэтому AN/NH = AK/KC = 1; AN = NH = AB*2/5;

Получилось AH = AB*4/5; следовательно BH = AB/5;

Из условия следует, что BM = AB/10; то есть BM/BH = 1/2; BM = MH;

но BM/MH = BD/CD; то есть BD = CD;

Это означает (не больше, не меньше), что треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC; и AD - не только биссектриса, но и медиана, и высота.

Это не все чудеса этой задачи. Далее.

DM - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ABD.

При этом BM = AB/10; AM = AB*9/10; откуда DM^2 = BM*AM = (AB^2) * 9/100;

DM = AB*3/10 = 3*BM;

Прямоугольные треугольники BMD и ABD подобны.

Поэтому AD = 3*BD;

Поскольку O - точка пересечения медиан, то DO = AD/3 = BD;

это второе, и последнее чудо - прямоугольный треугольник OBD равнобедренный.

Это означает, что OD/OB = 1 / √2; c учетом того, что OD = AD/3; BO = BK*2/3;

получается AD/BK = √2;