Треугольник ABC равносторонний со стороной, равной 8 см.

Точка D лежит вне плоскости треугольника ABC, причем DB=DC=5 см, а DA=3 (квадратный корень из трёх) см. Найдите косинус угла между высотами DK и AK соотвественно треугольника BDC и ABC.

Косинус угла между высотами

По теореме Пифагора

DK=sqrt (DC^2-CK^2) = sqrt (25-16) = 3

AK=sqrt (AC^2-CK^2) = 64-16) = 4*sqrt (3)

По теореме косинусов

AD^2=DK^2+AK^2-2*DK*AK*cos (DKA)

cos (DKA) = (DK^2+AK^2-AD^2) / 2*DK*AK = (9+48-27) / 2*3*4*sqrt (3) = 30/24*sqrt (3) = 5*sqrt (3) / 12