На доске записаны числа 1,2, ...,25. За ход нужно стерет 3 некоторых числа а, в, с написанных на доске изаписать вместо него число а^{3} + в^{3} + с^{3}. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно 2013

^{3

Question

Алгебра

Радосвета

15 февраля, 05:20

На доске записаны числа 1,2, ...,25. За ход нужно стерет 3 некоторых числа а, в, с написанных на доске изаписать вместо него число а^{3} + в^{3} + с^{3}. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно 2013

^{3

+4

Ответы (1)

Знаете ответ?

Аврам · Answer 1

На каком-то этапе надо заменить тройку чисел (13, x, y) суммой 133 + x3 + y3 = 2197 + x3 + y3 = p Отсюда ясно, что p > 2197 (*). После этого придется менять тройку чисел (p, m, n) суммой p3 + m3 + n3. Но если (см. *) p > 2197, то p3 > 21973 > 20133. Если это произошло не на последнем этапе, то равенство уже не выполняется. Тем более, последнее оставшееся число больше, чем 20133, значит, равным ему быть не может.