Найдите все двузначные числа каждая натуральная степень которых оканчивается на 2 цифры составляющие первоначальное число

с решением

(10a + b) ^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 = 100x + 10a + b

b^2 mod 10 = b

2ab mod 10 + b^2 div 10 = a

1. b^2 mod 10 = b - > b = 0, 1, 5

2. a = 2ab mod 10 + b^2 div 10

b = 0 - > a = 0 + 0 = 0

b = 1 - > a = 2a mod 10 + 0 - > a = 0

b = 5 - > a = 10a mod 10 + 2 = 2

--> Единственное решение: 25

Обозначим искомые числа через 10a+b. Тогда при возведении в квадрат по требованию задачи должны выполняться условия: b^2 должно быть числом, оканчивающимся на цифру b. Таких цифр четыре: 0, 1, 5 и 6. Пусть наше число оканчивается на 0. Тогда 2*a*b должно быть числом, оканчивающимся на a, но это невозможно, поскольку b=0. Пусть искомое число оканчивается на 1. Тогда 2*a*b должно быть числом, оканчивающимся на a, но это также невозможно, поскольку число 2*a может оканчиваться на цифру a только при a=0, но a - первая цифра в нашем числе и a ≠ 0. Пусть теперь наше число оканчивается на 5. Тогда должно выполняться условие: число 2*a*b+2 должно оканчиваться на a. Этому условию удовлетворяют a=2, b=5. Т. о. 25^2 = 625 оканчивается на 25. Поскольку последние две цифры в числе будут оставаться 2 и 5, то при возведении в любую натуральную степень соответствующие числа будут оканчиваться на 25. Поэтому число 25 нам подходит. Пусть искомое число оканчивается на 6. Тогда должно соблюдаться 2*a*b+3 должно оканчиваться на a. Т. к. b=6, то a*12+3 оканчивается на a. Отсюда находим, что a=7. Т. о. получаем второе число, которое также при возведении в любую натуральную степень будет оканчиваться на 76. Это единственные два двузначных числа, удовлетворяющие требованиям.

Ответ: 25 и 76.