Найдите все пары целых X и Y таких, что X^4+4Y^4 - простое число.

Найдите наименьшее значение y

Найдите наибольшее значение y

X^4+4y^4=p

(x^4+4x^2*y^2+4y^4) - 4x^2*y^2=p

(x^2+2y^2) ^2 - (2xy) ^2=p

(x^2-2xy+2y^2) * (x^2+2xy+2y^2) = p

((x-y) ^2+y^2) * ((x+y) ^2+y^2) = p. Тк обе скобки всегда положительны, то тк p простое число, то одна из скобок равна 1, а другая p.

Рассмотрим оба случая:

(x+-y) ^2+y^2=1

Если y не равен 0, то y^2>=1. (Тк y-целое) (x+-y) ^2>=0 (всегда)

(x+-y) ^2+y^2>=1. Равенство наступает, когда y^2=1 и (x+-y) ^2=0 соответственно. То есть y=+-1; x=+-1 или y=+-1; x=-+1.

Решение подходит: (+-1) ^2+4 * (+-1) ^4=5 - простое число. Рассмотрим случай когда y=0:

x^2=1

x=+-1

x^4+4y^4=1. Но 1 не является простым числом.

Ответ: 1) x=+-1; y=+-1. 2) x=+-1; y=-+1. ymax=1; ymin=-1.