При каком значении a многочлен x^3+ax+1 при делении на двучлен x-a даёт остаток, равный 3?

Пусть в частном получается многочлен x²+bx+c.

Тогда можно составить равенство:

x³+ax+1 = (x-a) (x²+bx+c) + 3.

Раскрываем скобки слева и перегруппировываем

x³+ax+1=x³-ax²+bx²-abx+cx-ac+3.

x³+ax+1=x³ + (b-a) x² + (c-ab) x+3-ac

Два многочлена равны, если их степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях равны

b-a=0 ⇒a=b

c-ab=a c-a²=a ⇒ c=a²+a

3-ac=1 3-a· (a²+a) = 1

3-a³-a²-1=0

a³+a²-2=0

a³-1+a²-1=0

(a-1) (a²+a+1) + (a-1) (a+1) = 0

(a-1) (a²+a+1+a+1) = 0

(a-1) (a²+2a+2) = 0 так как а²+2 а+2 = (а+1) ²+1>0 при любом а, то

а-1=0

а=1

О т в е т. а=1.