В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP докажите что LP2 = KP*MP

Из треугольника LPK;

LP^2+KP^2=KL^2; (1)

Из треугольника LPM;

LP^2+MP^2=LM^2. (2)

Сложив равенства (1) и (2), получим:

2LP^2+KP^2+MP^2=KL^2+LM^2. (3)

Из треугольника KLM;

KL^2+LM^2=KM^2. (4)

Подставим выражение для KL^2+LM^2

из (4) в (3) :

2LP^2+KP^2+MP^2=KM^2. (5)

В (5) подставим KM=KP+MP;

2LP^2+KP^2+MP^2 = (KP+MP) ^2;

2LP^2+KP^2+MP^2=KP^2+2KP*MP+MP^2;

2LP^2=2KP*MP;

LP^2=KP*MP, что и требовалось доказать.