1-4sin^2x=0. найдите сумму корней, принадлежащих отрезку 0; пи

Сначала просто решим уравнение.

4sin²x = 1

sin² x = 1/4

(1 - cos 2x) / 2 = 1/4

1 - cos 2x = 1/2

cos 2x = 1/2

2x = ±arccos 1/2 + 2πn, n∈Z

2x = ±π/3 + 2πn, n∈Z

x = ±π/6 + πn, n∈Z

Расписывая эту серию корней, получаем,

x1 = π/6 + πn, n∈Z

x2 = - π/6 + πn, n∈Z

Теперь надо отыскать корни на заданном промежутке. Впихнём каждую формулу по очереди в данный промежуток и решим полученное двойное неравенство относительно n:

0≤π/6 + πn ≤ π

-π/6 ≤ πn ≤ 5π/6

-1/6 ≤n≤ 5/6

Целые значения n из этого интервала - n = 0

n = 0 x = π/6 + π * 0 = π/6 - первый корень из этого промежутка

Точно также проделываем со вторым корнем.

0 ≤-π/6 + πn ≤ π

π/6 ≤ πn ≤ 7π/6

1/6 ≤ n ≤ 7/6

На данном интервале единственное целое значение n - это n = 1

n = 1 x = - π/6 + π = 5π/6 - второй и последний корень из данного промежутка

Ну и теперь находим сумму требуемых корней:

π/6 + 5π/6 = 6π/6 = π

Значит, сумма корней данного уравнения из требуемого промедутка равна пи.