дифференциальное уравнение

x²dy+ydx=0; y (1) = e

Имеем дифференциальное уравнение x^2 dy + y dx = 0;

Разделим переменные:

x^2 dy = - y dx; dy/y = - dx/x^2;

Теперь можно интегрировать левую и правую части

∫dy/y = - ∫dx/x^2;

ln (y) = 1/x + C;

ln (y) = (1/x) ln (e) + C ln (e) = ln (e^ (1/x)) + ln (e^C) = ln (e^ (1/x + C)) ;

Отсюда y = e^ (1/x + C) или y = e^C * e^ (1/x)

e^C - произвольная константа, которую можно заменить одной константой (буквой). Пусть это будет тоже буква С, это не играет никакой роли.

Итак, общее решение y = C e^ (1/x)

Известно, что y (1) = e; Используем данный факт, чтобы найти С.

y (1) = C e^ (1/1) = e; Или C*e = e, откуда C = 1.

Окончательно, частное решение имеет вид y = e^ (1/x)