Докажите, что квадратный корень из 11 является иррациональным числом

Предположим обратное: √11 - рациональное число, тогда по определению

рац. числа √11 можно представить в виде несокаратимой дроби m/n

где m и n - целые числа.

√11 = m / n

Возведем в квадрат обе части равенства: 11 = m ² / n ², или m ² = 11n ² = >

m ² делится на 11, а т. к. 11 - простое, следовательно, m тоже делится на 11, откуда m = 11 k,

тогда m² = 121 k ² или 121 k ² = 11n ² = > 11 k ² = n ² то есть n ² делится на 11,

а значит, а т. к. 11 - простое, то n делится на на 11, следовательно, числа m и n имеют общий делитель 11, а следовательно дробь m / n - сократима, что противоречит определению рационального числа. Таким образом, предположение о том, что √11 является рац. числом неверно, следовательно √11 - иррациональное.