9 класс! Определите a так, чтобы сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 - a) x - a - 3 = 0 была наименьшей.

Решение: Найдем сумму квадратов корней уравнения x12 + x22 = (x1 + x2) 2 - 2x1x2 = (2 - a) 2 + 2 (a + 3) = ... = (a - 1) 2 + 9. Значение данного выражения будет наименьшим при a = 1. При этом значении a дискриминант левой части уравнения положителен, поэтому корни существуют. Ответ: a = 1

D = (2-a) ²+4a+12=4-4a+a²+4a+12=a²+16>0 при любом а

x1²+x2² = (x1+x2) ²-2x1x2

x1²+x2² = (a-2) ²-2 (-a-3) = a²-4a+4+2a+6=a²-2a+10 = (a-1) ²+9

Парабола, ветви вверх, вершина в точке (1; 9) ⇒вершина точка минимума

Значит при а=1 наименьшее значение равно 9.